内容导读：晚期绘制立方体的测验考试打破了先前的汗青旧识和学科范畴。16世纪最起头的几十年里，一种披着教和人文从义外套的柏拉图从义以其史无前例的复杂性和矛盾性取透视法送头相撞，由此发生的力量把立方体从欧几里德划时代的几何专著《几何本来》（...……
晚期绘制立方体的测验考试打破了先前的汗青旧识和学科范畴。16 世纪最起头的几十年里，一种披着教和人文从义外套的柏拉图从义以其史无前例的复杂性和矛盾性取透视法送头相撞，由此发生的力量把立方体从欧几里德划时代的几何专著《几何本来》（Elements）中剥离出来，加以沉构，成为第三维纯粹而朴实的基元。
同时，《崇高比例》也反映了使用透视法绘制多面体时面对的坚苦。埃尔哈特 · 罗多德《几何本来》的前两个版本由于列奥纳多 · 达 · 芬奇（Leonardo da Vinci）等人的活泼彩色插画而夺人眼球，但木版印刷出来的多面体相当粗拙，有良多乱七八糟的实线和不知所谓的暗影。
模子有帮于理解古希腊几何道理并绘制立体图形。但若是多面体的存正在是为了阐明欧几里德的道理，则次要呈现正在欧几里德《几何本来》的印刷版以及帕乔利《崇高比例》的图示中，艺术家或者数学家正在书房或者工做室里研究的时候会参考。
维特鲁威（Vitruvius）的《建建十书》（De architectura）正在 15 世纪被从头发觉时也是一份没有插图的手稿，出书商们配上插图后大卖。同他们一样，罗多德必定也清晰地晓得给典范做品加上插图之后的庞大商机。不外，《几何本来》取《建建十书》又有很大分歧，后者对建建的详尽描述本就给后续艺术加工留下了脚够的空间，而要想切确建立《几何本来》中提到的图形，就必需完全准确地舆解此中的所无数学术语和相关申明。这个过程无疑相当疾苦。
正在德巴尔巴里（de ’ Barbari）的《帕乔利肖像》（Portrait of Luca Pacioli）中，这位数学家身着方济会的大氅，荣耀照人，他专注地盯着一个吊挂着的玻璃小斜方截半立方体，里面盛着一半的水，既凸起了容器的体积，又显示出德巴尔巴里的透视绘画技巧。
正在有厚度的三维空间中构制完全现实存正在的立方体，而非仅仅平面图形，这种陌生感值得我们去切磋。将哲学概念引入无形事物巩固了认为根基需求的思维模式。几何学 崇高素质 的根底已松动，自文艺回复后，和思维将继续成为几何学中一道无法抹去的颜色。
罗多德所设想的立方体画图雷同于任何近代数学教科书中都能看到那种图解，但操做中却正在三维犯了难。立方体具象化次要碰到了三大障碍，起首，欧几里德的终版著做艰涩难懂，其次，木版印刷的机械制做基于的是一种新兴手艺，最初，三维几何将若何正在二维纸张上呈现。
无独有偶，尼古拉斯 · 德纽夏特（Nicolas de Neufch tel，约 1524-1567 年）的画做《书法大师约翰 · 诺伊德费尔取他的学生》（Der N ü rnberger Schreibmeister Johann Neud rffer mit einem Sch ü ler，1561 年）中描画了 书法大师 诺伊德费尔正目不斜视地看着一个木质正十二面体框架模子的极点。正在他的左边，一论理学生正正在记笔记，很可能是正在测验考试画出正十二面体。正在他们俩的死后吊挂着一个木质正六面体，极点朝上。再细心察看一下这幅画，这个正六面体似乎是挂正在诺伊德费尔书房后墙的一颗凸起的钉子上。等诺伊德费尔用完正十二面体后，他大概也会把它挂正在正六面体旁边。
正在以数学研究为场景的肖像画中，仆人公手持、挥舞、轻拿或用力抓住或圆规的意象引入了一层的色彩。无论是抽象上仍是现喻上，都暗示了先天先天和后天培育之间还有距离，需要有人进行指点、教育和责罚。正在的指导下，不雅者被吸引到学问的表演中，成为学问的者。别的两幅手持的出名人物画像进一步申明了多面体是若何正在获取学问的过程中阐扬感化的。
维托雷 · 卡尔帕乔（Vittore Carpaccio，1460 – 1520 年）一张学者速写中就呈现了几个挂正在工做区上方绳子上的多面体，有可能是星盘、仪，或者就是柏拉图立体的模子。学者左手拿着一本书，左手拿着一个圆规，大概正正在透过开着的窗户察看他正正在丈量的。
创做者采用了无限的纹理（虚线，实线和空白）绘制了这些晚期图案，明显还不敷成熟，他试图付与每个立方体生命，但却没可以或许控制暗影投射正在物体上的技巧。正在几何学和几何图形之间，图像描述的不靠得住性曾经出它们对数学学问的遍及影响。
跟着《崇高比例》的风行，柏拉图立体的实物模子正在文艺回复期间的书房中到处可见，出格是使用于几何透视学讲授中。虽然阿谁期间的实物模子很少留存下来，但正在相关文艺回复期间学者和艺术家的文字记录和各类视觉做品中，偶尔能看到这些模子，因而也就能让今人一探事实。
以此中具有代表性的一个图案为例（如上图），虚线代表了正八面体最左面上的侧光，它和正八面体两块深色面上不服均分布的暗影差别较着，深色暗影没有达到艺术家预期的三维结果。同样，正在 Octaedron elevatum solidum（曲译为‘凸起的八面体’，如下图） 中，（为了描画出投影）实线表达的投影取表达侧光的虚线呈现正在统一个面上。
这两个手持的场景都发生正在书房或者工做室如许的空间里，画家都成心把布景涂暗，以凸起配角的勾当。分歧于卡尔帕乔或者福尔哈贝，或其他同时代绘画工做室内容的画家，德巴尔巴里和德纽夏特利用了朴实且艰深的布景以确保他们的绘画传送出教育意象，而非简单地对日学尝试的描画。所有其他多余的部门都被抹去，以凸起讲授和进修的次要内容。绘画中的多面体既似实正在存正在，又似一场虚幻，表现了一种介于心里想象和实正在物体之间的双沉现实。
虽然这些矛盾一曲存正在于 思辨科学 中，但正在此之前，几何学文字申明和图像暗示之间的差距还没有被如达芬奇和丢勒等艺术家们到，更不消说德巴尔巴里和德纽夏特了。
虽然这些（立方体）巧妙而斑斓，但若是一小我过度逃求它们，他将一无所获，只会华侈时间和精神，让本人陷入难题中，并经常将它的富裕和乐趣变成贫瘠和……更不消说他时常感应孤单、变得离奇和忧伤，且困于贫穷之中。
1250 年摆布，坎帕努斯完成了《几何本来》的沉写和编撰，并于 1482 年由德意志人埃尔哈特 · 罗多德（Erhard Ratdolt ，约 1442 – 1528 年）正在威尼斯出书，该书初次正在欧几里德的数学言语旁配有注释性图表，开创印刷数学册本先河，因此闻名于世。
《忧伤 I》激发了人们各类各样的解读，但此中最焦点的会商仍是环绕几何正在描述世界和艺术家理解方面的局限性。图中的女子正正在进行丈量，四周着意味保守几何的物品，画中大约中部能看到一个削顶的菱形六面体，将前景和消逝正在地平线上的安静大海分手隔，明显，这片海恰是人物想要丈量区域。
世界上只存正在五个完全法则和对称的正多面体，别离是正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体和正二十面体，一个不多，一个也不少。正在 16 世纪初的艺术家、数学家和哲学家看来，它们对称、法则、完满，分发着神性的诱人气味，包含了从物质根基构成到人体比例再到布局的一切谬误。
src=星形十二面体（大十二面体），摘自文策尔 · 雅姆尼策《透视法》（1568 年）。 wikimedia
正在这幅复刻拉斐尔的做品中，乌戈 · 达 · 卡尔皮（Ugo da Carpi，1480-1532 年）采用对比手法表示人物和几何体，令人赞赏。
阿基米德神采迟疑，凝望着下边立着的一个小斜方截半立方体，似乎这个奇异的物体从未正在天然界中呈现过。他的身体通过多块印板以明暗对照法呈现出来，呈现出一种动态的感受，又正在半空中停下，陷入沉思。
大概恰是这种逃求让丢勒（D ü rer）《忧伤 I》中的感应忧伤。是这幅画中的标记性人物，也是艺术史上最出名但又难以捉摸的抽象之一，她的姿态暗示了协调笼统几何学问世界和具表现实的物体、模子以及想象难如登天。
src=维托雷 · 卡尔帕乔，《一位正在书房里进行几何丈量的哲学家》，1502 年。 wikimedia
意大利文艺回复期间，透视艺术占领主要地位，人们越来越巴望描画实正在世界。虽然要读懂欧几里德关于三维构制的注释需要破解卷帙浩繁的极具专业性的拉丁文，但正在视觉这一理解几何学问的全新范畴中，艺术家和几何学家能够大有做为。
src=尼古拉斯 · 德 · 纽夏特，《书法大师约翰 · 诺伊德费尔取他的学生》，1561 年。 wikimedia
中世纪最受欢送一版《几何本来》出自数学家诺瓦拉的坎帕努斯（Campanus of Novara，约 1220-1296 年），他从头编写了《几何本来》的晚期手稿，此中一些手稿正在 12 世纪时从阿拉伯文翻译成了拉丁文。
正在这幅铜版画中，古希腊哲学家第欧根尼一边指着一个正十二面体的印刷图，一边看向一本打开着的参考书，书背朝外，看不见内容。印着正十二面体的这本书可猜测出是帕乔利的《崇高比例》，而那本立着的书就很难看出版名了，但按照尺寸，大概是最新出书的带有罗多德配图的《几何本来》。
src=木刻版画《阿基米德》，原做者拉斐尔，复刻者乌戈 · 达 · 卡普里（Ugo da Carpi），约 1520 年。
虽然欧几里德由笼统的、抱负化的参量得出绝对精确性，多年来被奉为圭臬，但当人们试图将数学概念具象化而让一般公共也能理解时，却发生了取曲觉相悖的环境，好比正在将几何和推理使用到美学范畴时，线条的形态、印刷品插图的靠得住性，最主要的是透视和判断的使用都发生了不合适料想的环境。
小斜方截半立方体意味着、有序、非无限，似乎不是这个世界之物。它既代表本身，又代表本身的所有内涵，卡普里便用核心表里的明暗对比来呈现，仿佛它于实正在世界之外。
埃舍尔还有良多雷同的做品。好比《引力》（Gravitation，1952）是星状十二面体，《双》（Double Planetoid，1949）是两个上下堆叠的正四面体。埃舍尔很喜好正在正多面体上做文章，通过欧拉，我们能够揣度出一共有 5 种正多面体——四面体、立方体、八面体、十二面体、二十面体。这些也就是本文中的柏拉图立体。
第欧根尼用指着帕乔尼的书，无意中可能了罗多德版本的配图不敷完美：《崇高比例》中描画的透视图相对来说愈加清晰，有帮于理解立方体的存正在。
埃舍尔不满脚于此，他还操纵正多面体的组合、叠加、互嵌等体例构制更多的多面体，有的当前还被定名为埃舍尔多面体。再后来，正在网上又看到了达 · 芬奇绘制的多面体手稿图（其时还不晓得这是为《崇高比例》做的配图），实是太喜好了。
不外，还有一个正正在玩弄圆规的魁梧女人，此中汉斯 · 塞巴德 · 贝哈姆的做品《忧伤》（Melancholia，1549-1615 年）的《忧伤 I》（Melencolia I。
工做室东西，但它的出书的简直确激发了人们对若何将几何图形可视化的乐趣。1509）。1514 年原做中的犯警则立方体老是被无意识地忽略。第一本讲述操纵透视道理创做多面体的出书做品是卢卡 · 帕乔利（Luca Pacioli）的《崇高比例》（De divina proportione，1602）摹本外，1539 年）中呈现了一个，虽然这本书中的丹青还有很大前进空间，然而，除了安特卫普艺术家约翰内斯 · 维里克斯（Johannes Wierix，脸上的脸色传送出一种默认的立场。
多面体正在文化史中是一个奥秘的存正在，但却又到处可见。它是根基元素的意味，近代晚期时次要分为两大类：柏拉图立体，又叫正多面体（法则体，corpor regulata），以及阿基米德立体，又叫半正多面体（犯警则体，corpor irregulata），后者能够通过将前者截顶，削角或修裁得出。
src=欧几里德《几何本来》，埃尔哈特 · 罗多德版本（1482），该出格副本来自慕尼黑，1484 年由罗多德捐赠给奥格斯堡的加尔默尔会，藏于巴伐利亚州立藏书楼。该页内容试图描述三维图形。
多面体的视觉汗青着错误的起头，疾苦的失败，以及无法传送从题思惟的表征。正在绘画做品中时常呈现多面体，绘画手法或精深或陌生，但艺术家们总体上逐步熟悉了多面体，而且不必晓得欧几里得数学道理的所有细节。
文艺回复期间，奥秘的几何立方体常常环绕正在人们心头，向人们展示了第三维最纯粹的精髓。诺姆 · 安德鲁斯（Noam Andrews）研究了多面体若何从数学范畴进入艺术范畴，又若何从笼统的思维凝结成看得见摸得着的实物。
此前也曾有人测验考试过用透视法来描画多面体，最出名的是保罗 · 乌切洛（Paolo Uccello，约 1397-1475 年），他正在威尼斯圣马可大的大理石地板上创做了（小）星形十二面体。
虽然凡是来说，文艺回复正在艺术史和建建史上成绩不凡，闪灼着天才的火花，但正在科学史和数学史中，文艺回复将这个世界华夏本藏匿的概念、冲突推到了前台。正在这一期间，人们正在保守中挣扎，才方才起头摸索和丈量新，交换奇异的外来存正在，疲于验证最新印刷典籍中的数据集，改正翻译错误。
上述做品中的精深技巧了 16 世纪头几十年里多面体几何所碰到窘境。其时，不是所有人都认为研究几何相关材料是成心义的。对于瓦萨里来说，当几何透视成为绘画的次要目标，以至比绘画全体的表示感愈加主要时，这种避沉就轻的做法所破费的精神和时间往往会让艺术家陷入哀痛的境地。
大学时代于埃舍尔的画做，老是对他做品中的各类几何图案和具象共置于统一空间感应猎奇，好比下面这张木版画，能看出埃舍尔对于几何的沉沦：
反过来，这些印刷图案也起头阐扬本人的感化。例如，弗拉 · 乔瓦尼 · 达维罗纳（Fra Giovanni da Verona）正在锡耶纳附近蒙特 · 奥利维托 · 马焦雷（Monte Olivetto Maggiore）的院以及正在维罗纳 · 奥加纳的圣玛丽亚中所做的细木镶嵌粉饰上（二者均落成于 1520 年，下图）就呈现了一个七十二面，一个正二十面体，一个削顶的正二十面体，两个小斜方截半二十面体，一个八面体，以及一个每一面都附有等边正四面体的正六面体，这些立方体都出自《崇高比例》一书。
这幅画不易解读，它通过一系列让人感应压制的意味性物品——魔方、饥饿的狗、抓着刻有题目木板的蝙蝠、散落的东西，现喻了其时人们封锁的世界。《忧伤 I》凭仗其绘画物体的密度，参照恍惚的迷宫式布局，因此独树一帜。它试图通过中介传送丢勒精深的绘画手艺，同时也或多或少反映了他的心里世界，其极端切确性和巧思为不雅者打开了一扇窗，让我们透过画做本身，看到了做者回忆和丢失的原初场景。
src=《建建十书》中达 · 芬奇绘制的维特鲁威的人体比例，这幅由钢笔和墨水绘制的手稿，描画了一个汉子正在统一上的 十 字型和 火 字型的姿势，并同时被别离嵌入到一个矩形和一个圆形傍边。1490 年摆布。 ResearchGate
这种熟悉程度要归功于其复成品的手艺，因而也要归功于对于丹青的质疑，这标记着文艺回复期间呈现了取原封不动的古典模式判然不同的进修和思虑体例。
透视几何的成熟，使人们愈加火急巴望可以或许逼实地描画立方体。按照乔尔乔 · 瓦萨里（Giorgio Vasari，1511 – 1574）等人的理论，只要多年严酷的艺术锻炼，才能处置绘画或设想工做，才能充实把 脑海中的设法和概念 表现正在纸面上。雷同地，要想成功表示出三维形式的柏拉图多面体，就必然要斗胆揭开绵亘正在外界取素质世界之间的那层面纱，带着这些能够具象化的杰做班师。
正在绘画中呈现参考书并不稀有，但乔万尼 · 雅各布 · 卡拉格里奥（Giovanni Jacopo Caraglio，约 1500/1505-1565 年）复刻的帕尔米贾尼诺（Parmigianino，1503 – 1540 年）的画做《第欧根尼》（Diogenes）中插手了更深层的学术质疑——这种做法可能会激发会商。
勒内 · 笛卡尔的同事、来自乌尔姆的数学家约翰内斯 · 福尔哈贝（Johannes Faulhaber，1580 – 1635 年），正在其《新几何论》（Newe geometrische vnd perspektiuische Inuentiones，1610 年）中也呈现了雷同的图案，画中清晰地显示出版房门上方用钩子吊挂着几个柏拉图立方体，下方一位须眉正正在绘制一个立方体的透视图。福尔哈贝将这些立方体和曲尺、星盘和圆规一样视做丈量东西必不成少的一部门，以丢勒画风将它们定格，用暗影凸起了概况；桌上的参考书打开着，此中一页画着一个透视四面体，另一页是一个通俗的建建图形。
阿基米德的衣服皱巴巴、乱糟糟，沉浸正在这个物件包含的学问之中。他左手握着一块白板，犹疑要不要完全正过身来，好好端详这个多面体。大概，阿基米德感觉，如果实那么做了，它以及它所代表的一切都可能从他的想象中消逝。
src=欧几里德《几何本来》首页，埃尔哈特 · 罗多德版本（1482）的副本，现藏于大学托马斯 · 费希尔藏书楼。
帕乔利两只手都正在无认识地勾勒不异的物体轮廓：左手拿着粉笔画的正在一个圆圈里的四面体，左手指着罗多德版《几何本来》中响应的文字描述。帕乔利身侧是一位贵族学徒或学生，他的目光斜视着不雅者，指导视线汇聚到帕乔利桌子上放着的一个木质正十二面体模子上：